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수학/고3 수학 모의고사 문제풀이 ( High Shcool Math )

2019 9월 수학나형 30번 짝수형( 고3 대학수학능력시험 9월 모의평가 : 모의고사)

by 푸쓰 2019. 10. 10.
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2019학년도 9월모의고사 수학 나형 짝수.pdf
0.45MB
2019학년도 9월모의고사 수학 나형 답지.pdf
0.04MB

2019 9월 수학나형 30번 짝수형 ( 고 3 대학수학능력시험 9월 모의평가 )

2018년 9월 5일(수요일)시행

수학 나형 1등급 컷 92점(표준점수 133점) 2개 틀리면 1등급이 나오는 잘 치러진 시험

오답률 97% 1위 : 30번

출제영역 : 3차 함수, 미분

발문의 순서 = 문제풀이 순서 = 사고의 순서

f(f(x))=x의 모든 실근이 0,1,a,2,b임으로 이 5개 중 3개의 실근은 f(x)=x의 실근과 y=x에 대칭인 두 근으로 이루어진 것을 알 수 있습니다.

그럼 0,1,a,2,b중에서 어떤 근이 f(x)=x와의 교점이 되는지 판정해야 합니다. 

그런데 f(1)<0,f(2)<0이고 f(0)f(1)=6에서 f(1)<0임으로 f(0)>0임을 알 수 있습니다. 그리고 f(x)=x를 제외한 나머지 두 근을 m,n이라고 할 때, 나머지 두 근은 f(m)=n,f(n)=m을 만족해야 f(f(x))=x를 만족할 수 있습니다. 이를 그림으로 나타내면 아래와 같이 됩니다.

그런데 f(x)=x를 만족하는 세근은 점점 커져야하므로 한 근은 0b라는 것을 알 수 있습니다. 그럼 나머지 한근을 택해야 하는데, 이 세 근을 제외한 나머지 두 근은 f(m)=n,f(n)=m을 만족해야 함으로 f(x)=x를 만족하는 나머지 한근은 a라는 것을 알 수 있습니다. (이해가 잘 되지 않으시면 y=x그래프를 0,1,b0,a,b와 $(0, 2, b)를 지나게 순서대로 그려보면 쉽게 이해하실 수 있습니다.)

 

f(x)=x를 만족하는 세근이 0,2,b라면 아래와 같이 그려지는데 이때 f(a)=1,f(1)=a가 절대 될 수 없다는 것을 알 수 있습니다. 왜냐하면 f(f(x))=x를 만족시키기 위해 f(a)값을 다시 x값으로 하여 f(x).(y= x$입니다.

f(x)=x를 만족하는 근은 0,a,b이고 나머지 두 근 1,2f(m)=n,f(n)=m을 만족하는 y=x대칭이 되는 근이어야 하므로 f(1)=2,f(2)=1임을 알 수 있습니다.

그러므로 f(x)x=kx(xa)(xb)가 됩니다.

 

 

그럼 그래프를 그려보면 아래와 같이 되고

(1,2)(2,1)는 직선 y=x에 대해 대칭이고 함수 f(x)에 대해서도 대칭이므로, 3차 함수 위이고 y=x위인 점 a에 대해서도 대칭이어야 합니다. 삼차 함수 f(x)는 변곡점에 대해 대칭이므로 점 a는 변곡점이 되어야 합니다. 

f(x)x=kx(xa)(xb)

f(x)1=k((xa)(xb)+x(xb)+x(xa))

f(x)=k((xb)+(xa)+(xb)+(x)+(xa)+(x))=k(6x2a2b)

f(a)=k(4a2b)=0이어야 하므로 b=2a가 됩니다.

f(x)x=kx(xa)(x2a)

f(1)=2,f(2)=1임으로

f(1)=k(1a)(12a)+1=2

f(2)=2k(2a)(22a)+2=1

k(1a)(12a)=1  ①

2k(2a)(22a) = 4k(2a)(1a)=1 두식을 더하면

k(1a)(12a+84a)=k(1a)(96a)임으로

a=32이 되고  식에 다시 대입하면

k(12)(2)=1임으로 k=1이나 옵니다. 그러므로

yx=x(x32)(x3)이 되고

f(5)5=5(532)2=5(103)=35임으로

f(5)=40이 됩니다.

 

삼차함수가 변곡점에 대해 대칭인것을 모르시는 분들은 f(x)x=kx(xa)(xb)에서 f(0)f(1)=6,f(1)=2,f(2)=1을 계산해서 풀 수도 있습니다.

 

감사합니다.

 

 

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