2019 6월 수학나형 21번 짝수형(고3 대학수학능력시험 6월 모의평가 : 모의고사)

2019학년도 6월모의고사 수학나형.pdf

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2019학년도 6월모의고사 수학 나형 답지.pdf

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2019 6월 수학나형 21번 짝수형 ( 고3 대학수학능력시험 6월 )

2018년 6월 7일(목요일) 시행

수학 나형 1등급 컷 87점(표준점수 131점)

오답률 70% 3위 : 21번

출제영역 : 3차 함수, 미분

발문이 곧 사고의 순서 = 문제풀이 순서

조건 $(가)$에서 $f(-1) > -1$이라고 하였으므로,

$f(-1) = -1 + a -b > -1$ 

$a > b$

 

조건 $(나)$에서 $f(1) - f(-1) >8$임으로

$f(1) - f(-1) = 1 + a + b - ( -1 + a -b) > 8$

$b > 3$

조건 $(가), (나)$를 합치면 $a > b > 3$이 됩니다.

 

ㄱ. 방정식 $f'(x) = 0은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$의 근을 물었으므로 판별식 $D$를 사용합니다.

$\frac{D}{4} = a^2 - 3b$ 여기서 

$a>3$이고 $a>b$임으로 $a^2 - 3b>0$임으로 $f'(x) = 0$은 서로 다른 두실근을 갖는다. 참.

 

ㄴ. $-1 < x < 1$ 일 때, $f'(x) \ge 0$ 이다.

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$인데 

$f'(-1) = 3 -2a + b = 3 - a + b - a<0$ ( $a > b > 3$) 

$f'(1) = 3 + 2a + b >0$임으로 그림으로 나타내면 아래와 같이 됩니다.

$f'(-1)<0, f'(1) > 0$임으로 $-1 < x < 1$ 일 때, $f'(x) \ge 0$는 거짓이 됩니다. 거짓.

 

ㄷ. 방정식 $f(x) - f'(k)x = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 2가 되도록 하는 모든 실수 $k$의 개수는 4이다.

$f(x) -f'(k)x = x^3 + ax^2 + bx - (3k^2 +2ak + b)x = 0$

$x^3 + ax^2-(3k^2 + 2ak)x = x(x^2 + ax - 3k^2-2ak) = 0$에서 서로 다른 실근의 개수가 2개가 되기 위해서는 $x^2 + ax - 3k^2-2ak$가 0이 아닌 중근을 가지거나, 한 근은 0이고 0이 아닌 다른 한 실근을 가져야 합니다.

 

 

그러므로

1. 중근을 가질 때

판별식 $D = a^2+4(3k^2+2ak) = a^2 + 8ak + 12k^2$= $(a+6k)(a+2k) = 0$임으로

$k = -\frac{a}{2}, -\frac{a}{6}$ 2개를 가지고

 

2. 한근은 0이고, 0이 아닌 다른 한 실근을 가질 때

한근은 0이어야 하므로 $x^2 + ax - 3k^2 -2ak$에서  $3k^2 + 2ak$가 $0$이 되어야 합니다.

$3k^2 +2ak = k(3k + 2a) = 0$임으로 $k = 0, -\frac{2a}{3}$ 2개를 가집니다.

그러므로 모든 실수 $k$의 개수는 4개이므로 

ㄷ. 방정식 $f(x) - f'(k)x = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 2가 되도록 하는 모든 실수 $k$의 개수는 4이다. 참

그럼으로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이 되고 정답은 ③입니다.

 

ㄷ. 은 그래프로 해석하여 풀 수 도 있습니다.

 

감사합니다.