2019 9월 수학나형 21번 짝수형(고3 대학수학능력시험 9월 모의평가 : 모의고사)

2019학년도 9월모의고사 수학 나형 짝수.pdf

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2019학년도 9월모의고사 수학 나형 답지.pdf

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2019 9월 수학나형 21번 짝수형

2018년 9월 5일 (수요일)시행

수학 나형 1등급컷 92점(표준점수 133점) : 2개 틀리면 1등급이 나오는 잘 나온 시험지

오답률 60% 3위 : 21번

출제영역 : 사차함수와 적분

항상 발문 순서대로 풀것. 발문 순서 = 문제풀이 순서

발문에서 사차함수 $f(x) = x^2 + ax^2 + b$라고 주어졌습니다.

홀수 차수가 없어 우함수이므로 $y$축에 대해 대칭입니다. 

그리고나서 $x \ge 0$에서 $g(x) = \int_{-x}^{2x} f(t) - |f(t)| dt$라고 주어지고

$0 < x < 1$에서 $g(x) = c_1$임으로 이때는 $-1 < x< 2$일 때 $f(x)$가 양수가 되어 $g(x)$가 0이 될때만 가능합니다. 

$1 < x < 5$에서 $g(x)$는 감소함수이므로 적어도 $x>2$부터는 $f(x)$가 음수가 되어야 합니다.

$x > 5$에서 $g(x) = c_2$임으로 위와같이 $x<-5$일 때와 $x>10$일 때 $f(x)$가 양수가 되어야합니다.

위의 경계값들을 점으로 찍어보면 아래와 같이 나오게 됩니다.

$f(x)$는 위의 그래프의 점들을 경계값으로 가져야 하고 $f(x)$는 우함수이므로 봉우리가 2개인 그래프가 되고, 

여기서 조건 $가, 나 , 다$를 종합해보면,

$-1 < x < 2$ 일때 $f(x)$ 양수

적어도 $x > 2$ 일때 $f(x)$가 음수

$x < -5$일 때와 $x > 10$일 때 $f(x)$가 양수가 되어아햔다는 조건을 종합해보면 

$(-5, 0)$과 $(2, 0)$을 해로 가질 때를 생각해볼 수 있습니다. 우함수이므로 $(5, 0)$과 $(-2, 0)$도 해를 가집니다.

 

 

그러면 아래와 같은 그래프가 그려지고 조건 $가, 나, 다$를 만족시킵니다. 

아래의 그래프에서 그래프의 모양은 그대로 둔채 점만 $(-1, 0), (1, 0)$ 또는 $(-10, 0), (10, 0)$으로 바꾸어 생각해보시면 위의 조건에 부합하지 않는 다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

 

그러므로 $f(x) = (x+5)(x+2)(x-2)(x-5)$가 되고 발문에서 $f(\sqrt2)$를 구하라고 하였으므로

$f(\sqrt2) = (\sqrt2 + 5)(\sqrt2 - 5)(\sqrt2 + 2) (\sqrt2 -2)$ = $(-23) \times (-2) = 46$이 되어 정답은 ④이 됩니다.

감사합니다.

 

 

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