정수와 유리수의 덧셈과 연산법칙
우리가 처음 자연수를 배웠을 때, 가장 먼저 배웠던 게 덧셈과 뺄셈이었을 거예요.
어렸을 때, 기탄 수학 같은 더하기 빼기 연습하는 문제집을 푼 기억이 있나요?
저는 아직도, 어렸을 때 그 문제집을 풀었던 기억이 나네요^^
중학교에 올라와서 우리는 자연수에서 좀 더 확장해 정수와 유리수를 배웠어요.
우리가 자연수에 대해 처음 더하기 빼기를 배웠듯이, 정수와 유리수에 대해서도 더하기 빼기를 배워볼 거예요.
오늘은 정수와 유리수의 덧셈과 그 연산법칙에 대해서만 알아볼 거예요.
어렵지 않으니 바로 시작해 볼까요?
정수와 유리수의 덧셈
정수와 유리수의 덧셈을 떠올리기 전에, 자연수의 덧셈을 한번 살펴볼 거예요.
-1, -3, +2, −12,43와 같은 정수와 유리수는 +, - 부호가 2개였지만
1, 2, 3, 4,....... 와 같은 자연수는 부호가 +하나였어요.
그래서 자연수의 덧셈은 아주 간단했어요.
자연수의 덧셈 예시
3+4=7
7+2=9
그럼 정수와 유리수의 덧셈은 부호가 +, - 두 개이니까 복잡할까요?
그 대답은 No에요. 전혀 복잡하지 않아요. 자연수의 덧셈과 똑같다고 생각하면 돼요. 단지 -부호가 붙은 숫자만 늘어난 거죠. 한번 예시를 볼까요?
양의 정수와 양의 정수의 덧셈 예시
(+3)+(+2)=+5
3+2=5
위의 경우는 정수의 부호가 모두 양수인 경우예요. 양의 정수는 곧 자연수라고 했었죠? ( 양의 정수 = 자연수 )
그리고 +기호는 생략할 수 있다고 했어요.
결국 위의 두 식은 자연수의 덧셈과 같으니 이미 알고 있는 내용이네요.
음의 정수와 음의 정수의 덧셈 예시
(−2)+(−3)=−5
음의 정수끼리의 덧셈, 즉 음수의 덧셈에서는 음수인 숫자에 괄호를 해주어야 해요.
괄호를 쓰지 않으면, 위의 식은 아래와 같이 매우 헷갈리는 덧셈이 돼버려요
−2+−3=−5
그리고 음수끼리의 덧셈은, 헷갈릴 필요 없이 수직선을 떠올리면 매우 쉬워요.
-2는 원점에서 왼쪽으로 2칸, -3은 원점에서 왼쪽으로 3칸이니, 이것을 더해주면 왼쪽으로 총 5칸 간 거죠?
그러니 그 값은 -5가 되겠네요.
그럼 선생님~, 음수끼리의 덧셈은 귀찮게 항상 수직선을 그려야 하나요??라고 물어볼 수 있어요.
그 대답은 No에요. 덧셈을 할 때마다 수직선을 그리면 너무 귀찮겠죠?
그러니 부호가 같을 때는 그냥 부호를 앞에 빼주고 숫자끼리 더해주면 된답니다.
(−2)+(−3)=−(2+3)=−5
양의 정수와 음의 정수의 덧셈 예시
(+2)+(−3)=−(3−2)=−1
더하는 두 수의 부호가 다를 때는, 부호를 신경 쓰지 말고 숫자만 보는 거예요.
(+2)는 어차피 2로 쓸 수 있으니 우리는 2로 보고,
(-3)은 -부호를 떼 버린, 3으로 보는 거죠.
그러고 나서 숫자끼리 크기를 비교해요. 위의 예시에는 3이 2보다 크죠?
크기 비교를 한 다음, 큰 숫자에서 작은 숫자를 빼준다음, 수가 컸던 부호만 붙여주면 된답니다.
단계별로 한번 볼까요?
(+2)+(−3) 숫자 2와 3 크기 비교
(+2)+(−3)=−(3−2) 숫자 3이 숫자 2보다 크므로 3에서 2를 빼고 3의 부호 -를 써줌
(+2)+(−3)=−(3−2)=−1 그다음 계산.
(−2)+(−3)=−(2+3)=−5
아래와 같이 그림으로 봐도 이해가 되죠??
음의 정수와 양의 정수의 덧셈 예시
(−3)+(+2)=−(3−2)=−1
위의 경우와 순서만 바뀌었을 뿐 다르지 않죠? 위에서 했던 것처럼 똑같이 해주면 돼요.
-3과 +2에서 부호를 뗀다음, 3과 2를 크기 비교하고, 3이 더 크니 큰 숫자 3에서 2를 빼준다음 큰 숫자 3의 부호 -를 써주는 거죠.
어???
(+2)+(−3)=−(3−2)=−1
(−3)+(+2)=−(3−2)=−1
위의 두식을 비교를 해보니, 더하기의 순서가 바뀌어도 그 결과가 같네요.
여기서 자연스럽게 덧셈의 연산법칙이 나오게 돼요
덧셈의 연산법칙
위의 예시에서 보았던 것처럼, 덧셈에서 더하기의 순서를 바꾸어도 똑같에요.
왜 그럴까요??
수직선을 떠올려보면 바로 이해가 될 거예요.
수직선에서 왼쪽에서 2칸을 가고, 오른쪽으로 3칸을 간 경우랑
수직선에서 오른쪽으로 3칸을 가고, 왼쪽으로 2칸을 간 경우는 다르지 않겠죠
그래서 이 법칙을 우리는 덧셈의 교환법칙이라고 부른답니다.
( +3에서 +는 생략해서 3으로 쓸 수 있으므로 앞으로는 +를 생략해서 쓰겠습니다. )
덧셈의 교환 법칙 : a+b=b+a
예시 : (−2)+(3)=(3)+(−2)=(3−2)=1
덧셈의 연산법칙에는 교환법칙 말고도 하나가 더 있어요.
예시로 먼저 보여드릴게요.
(1+3)+2=1+(3+2)
세 수의 덧셈에서 앞의 2개의 숫자(1과 3)를 먼저 더한 결괏값과, 뒤의 2개의 숫자(3과 2)를 더한 결괏값이 같아요.
수직선을 떠올려보면 왜 그런지 쉽게 이해가 될 거예요.
괄호 안을 먼저 계산하면,
(1+3)+2
수직선의 원점에서 오른쪽으로 1칸 3칸을 간 다음 2칸을 가는 것과
1+(3+2)
수직선의 원점에서 오른쪽으로 3칸 2칸을 간다음 1칸을 가는 것은 순서만 다르지 도착점은 같게 되죠.
이를 문자로 표현하면 아래와 같이 표현되고, 이를 덧셈의 결합법칙이라고 불러요.
(a+b)+c=a+(b+c)
정리해봅시다.
더하기는 순서를 바꾸어도 되고, 세 수일 때 앞의 수를 먼저 더해도 되고, 뒤의 수를 먼저 더해도 돼요.
즉, 더하는 순서에 관계없이 편하게 계산하면 되겠죠?
세 수 a, b, c에 대하여
( 1 ) 덧셈의 교환법칙 : a+b=b+a
( 2 ) 덧셈의 결합법칙 : (a+b)+c=a+(b+c)
자, 그럼 지금까지 배운 내용을 확인 문제를 통해 잘 이해했는지 알아봅시다.
확인 문제 1. 다음을 계산하여라.
( 1 ) 6+(−4)+3
( 2 ) (−12)+4+(−32)
정답 : ( 1 ) 5 ( 2 ) 2
확인 문제 2. 다음 계산 과정에서 □ 안에 알맞은 수를 써넣고, (가), (나)에 이용된 덧셈의 연산법칙을 차례로 써라.
( 1 )
(−5)+(2)+(−1)
=(2)+(□)+(−1) ······· ( 가 )
=(2)+{(□)+(−1)} ······· ( 나 )
=(2)+(□)=□
정답 : □ 순서대로 : -5, -5, -6, -4 , ( 가 ) = 덧셈의 교환법칙, ( 나 ) = 덧셈의 결합법칙
오늘도 공부하느라 고생하셨습니다.
포스팅 상단에 정리 파일이 있으니 참고해주세요.
궁금한 게 있으시다면 댓글에 남겨주세요.
감사합니다.
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