소인수분해를 이용하여 약수와 약수의 개수 구하기

약수구하기, 약수개수 구하기, 정리 및 확인문제.pdf

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지금까지는 약수를 구할 때, 곱하기를 이용해서 구했었습니다.

이제 중학생이 되었으니 조금 더 쉽게 약수를 구해야겠죠?

 

오늘은 약수를 쉽게 구하는 방법과,

약수를 모두 구하지 않고도 약수의 개수를 구할 수 있는 방법을 배워보겠습니다.

 

두 가지 방법 모두 저번 시간에 배웠던 소인수분해를 이용해서 구할 수 있습니다.

우리가 해야할 것은 단 2가지입니다.

 

1. 소인수분해를 한다.

2. 거듭제곱으로 나타낸다.

 

예시를 통해

바로 시작해 보겠습니다.

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소인수분해를 이용하여 약수 구하기

 

18의 약수를 구해봅시다.

$18 = 1 \times 18 = 2 \times 9 = 3 \times 6$

이므로 18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18 총 6개입니다.

 

그런데 18이 아닌 108과 같은 100이 넘어가는 큰 수라면,

위의 방법처럼 하나씩 약수를 구하기에는 너무 귀찮겠죠?

이럴 때 우리는 소인수분해를 이용하여 약수를 쉽게 구할 수 있습니다.

 

108을 소인수분해해보면

$108 = 2^2 \times 3^3$이 나옵니다.

자 그럼 위와 같이 108은 $2^2$과 $3^3$이 곱해진 수라는 걸 알 수 있습니다.

여기서 $2^2$의 약수를 각각 구하고, $3^3$의 약수도 각각 구해서,

서로 곱하면 108의 약수가 됩니다.

 

그런데 여기서 $2^2$과 $3^3$ 처럼 거듭제곱으로 표현된 수의 약수는

지수를 1씩 늘리면서 쉽게 구할 수 있습니다.

단, 모든 수의 약수인 1은 포함시켜 주어야 합니다.

 

예를 들면, $2^{50}$ 의 약수는

$1, 2, 2^2, 2^3, ······, 2^{48}, 2^{49}, 2^{50}$이 됩니다. 

 

위와 같은 방식으로 구하면, 

 

$2^2$ 의 약수 : $1, 2, 2^2$

$3^3$ 의 약수 : $1, 3, 3^2, 3^3$ 

 

이제 $1, 2, 2^2$과 $1, 3, 3^2, 3^3$을 각각 곱하면 약수를 구할 수 있습니다.

 

$\times$	$1$	$2$	$2^2$
$1$	$1$	$2$	$4$
$3$	$3$	$6$	$12$
$3^2$	$9$	$18$	$36$
$3^3$	$27$	$54$	$108$

표를 보면 곱하기를 이용해 약수를 구한 것과 같습니다.

$108 = 1 \times 108 = 2 \times 54 = 4 \times 27 = 3 \times 36 = 6 \times 18 = 9 \times 12$

 

$108$ 의 약수 : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, 27, 54, 108$

 

이렇게 구하는 방법이 처음이라서 낯설고 익숙지 않아

더 복잡해 보일 수 있지만

익숙해지면 곱하기를 이용해 약수를 구하는 것보다 

더 정확하고 빠르게 약수를 구할 수 있습니다.

 

소인수분해를 이용해서 약수 구하기

주어진 수를 소인수분해 후 거듭제곱의 약수를 모두 구하여 서로 곱한다.

 

 

 

 

 

소인수분해를 이용하여 약수의 개수 구하기

 

 

이번에는 소인수분해를 이용하여 약수의 개수를 구해보겠습니다.

 

위에서 구한 것처럼 표를 그릴 필요 없이 약수의 개수만 구하는 거예요.

 

구하는 방법은 매우 간단합니다.

 

위의 예시를 보면 $108 = 2^2 \times 3^3$ 입니다.

 

$\times$	$1$	$2$	$2^2$
$1$	$1$	$2$	$4$
$3$	$3$	$6$	$12$
$3^2$	$9$	$18$	$36$
$3^3$	$27$	$54$	$108$

 

여기서 $2^2$ 의 약수의 개수는 $2, 2^2$에서 1 포함  3개 $1, 2, 2^2$

$3^3$ 의 약수의 개수는 $3, 3^2, 3^3$에서 1포함 4개 $1, 3, 3^2, 3^3$

즉, 거듭제곱으로 표현된 수의 약수는

지수의 개수보다 1개가 더 많습니다.

 

$108$의 약수의 개수는 $1, 2, 2^2$과 $1, 3, 3^2, 3^3$을 각각 곱해서

12개가 나온 것이므로

$108$ 의 약수의 개수는 

$2^2$의 약수의 개수 3개

$3^3$의 약수의 개수 4개를 곱한

$3 \times 4 = 12$가 됩니다. 

( 표를 보면 이해가 더 쉽습니다. ) 

 

정리하면

$108 = 2^2 \times 3^3$에서 2의 지수 2에 1을 더하고, 3의 지수 3에 1을 더해서

$( 2 + 1 ) \times ( 3 + 1 ) = 12$

 

이해를 돕기 위해 또 다른 예시를 하나 들면,

$72 = 2^3 \times 3^2$ 입니다.

 

약수의 개수는 2의 지수 3에 1을 더하고, 3의 지수 2에 1을 더해서 곱한

$( 3 + 1 ) \times ( 2 + 1 ) = 12$(개)가 되는 거죠.

 

소인수분해를 이용해서 약수 개수 구하기

각 소인수의 지수에 1을 더해서 서로 곱한다.

소인수분해 → $a^n \times b^m$ → $( n + 1 ) \times ( m + 1)$

 

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포스팅 상단에 정리 및 확인 문제가 있습니다.

 

오늘도 공부하느라 수고하셨습니다.

 

궁금한 게 있으시면 댓글에 남겨주시기 바랍니다.

 

감사합니다.