2019수학나형 21번 짝수형 문제풀이 (대학수학능력시험)

2019 수능 수학 답지.pdf

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2019 수능_수학 나형 짝수.pdf

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2019 수학나형 21번 짝수형 문제풀이

2018년 11월 15일 목요일 시행

수학 나형 1등급 컷 88점(구분점수 130점), 2등급 컷 81점(구분점수 127점) : 체감상 어려웠던 시험

21번 문제 출제영역 : 함수의 극한과 연속

오답률 3위 : 86%

수능, 평가원 모의고사는 반드시 발문 순서대로 문제를 풀 것, 숫자가 힌트다.

 

최 고차항 계수가 1인 삼차 함수 $f(x)$

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g(x)$

모든 실수 $x$에대해 $f(x)g(x) = x(x+3)$이고 $g(0) = 1$이므로 조건 $(가)$에 $x = 0$대입.

$f(0)g(0) = f(0) = 0$ 

$f(x) = x(x^2 + ax + b)$

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g(x)$라고 하였고, $f(1)$이 자연수일 때, $g(2)$의 최솟값을 구하라고 하였으므로, $g(x)$를 구해야 한다. 

$f(x) = x(x^2 + ax + b)$를  조건 $(가)$에 대입

$x(x^2 + ax + b) g(x) = x (x+3)$

$g(x) = \frac{x+3}{x^2 + ax + b}$

$g(0) = \frac{3}{b} = 1$이어야 하므로 $b = 3$

$g(x) = \frac{x+3}{x^2 + ax + 3}$

그런데 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이라고 하였으므로, $g(x)$의 분모가 0이 되는 $x$가 존재하면 안 된다.

$g(x)$의 분모가 $x^2 + ax + 3$이므로 이 함수가 0이 되면 안 되므로 판별식 $D < 0$이어야 한다.

$D = a^2 - 12 < 0$이므로

$a^2 < 12$ 

발문에서 $f(1) = 1(1 + a + 3) = a+4$가 자연수라고 하였으므로 $a$는 자연수이다.

$a \le 3$인 자연수

$g(2) = \frac{5}{4 + 2a + 3} = \frac{5}{7+2a}$의 최솟값을 구하라고 하였으므로, 분모가 가장 클때가 최솟값이 된다. 즉 $a= 3$일 때 $g(2) = \frac{5}{13}$이되어 정답은 ①이된다.

 

 

 

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