2020 9월 수학나형 30번 짝수형(고3 대학수학능력시험 9월 모의평가 : 모의고사)

2020_고3_9월모의고사_수학 나형.pdf

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2020_고3_9월모의고사_수학나형_답지.pdf

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수학 나형 오답률 1위. 정답률 2.7%

영역 : 미분 + 등차수열 

 

등급별 오답률은 메가스터디 홈페이지에 나와있습니다.

메가스터디 :: 합격 불변의 법칙

그럼 문제를 풀어보겠습니다.

늘 그렇듯 킬러 문항은 발문의 순서대로 풀고, 발문의 숫자가 곧 힌트가 됩니다.(발문은 한번 끝까지 읽어 문제를 이해한 다음에 끊어서 푸는 게 출제자의 의도대로 문제를 푸는데 좋습니다.)

네 개의 수 $f(-1), f(0), f(1), f(2)$가 순서대로 등차수열을 이룹니다. 그런데 $x$값도 1씩 커지는 등차수열을 이룹니다.

$x$값도 등차수열 그 함숫값 $y$값도 등차수열을 이루는 것은 직선입니다. 

출제자가 이것을 못 알아 차릴까봐 다음 조건에 접선에 관한 조건으로 $k$값을 제시해 줍니다. 접선은 직선이니 우리는 자연스럽게 직선을 떠올릴 수 있습니다.

그 직선을 $l(x) = ax + b$라고 하면

$f(x) -l(x) = (x+1)x(x-1)(x-2)$

 

다음 발문을 보겠습니다.

$f(x) = (x+1)x(x-1)(x-2) + l(x)$ = $(x+1)x(x-1)(x-2) + (ax + b)$

$(-1, f(-1))$에서의 접선

$y = f'(-1)(x+1) + f(-1) = (-1)(-2)(-3)(x+1) +l(-1) = (-6+a)(x+1) -a +b$  ($f(x)$를 미분하고 $-1$을 대입할 것이므로 $(x+1)$을 미분했을 때를 제외하고는 모두 0이 나오므로 $f'(x)$를 굳이 다 계산할 필요가 없습니다.

 

$f(2,f(2))$에서의 접선

$y = f'(2)(x-2) + f(2) = (3)(2)(1)(x-2) + l(2)$ = $(6+a)(x-2) +2a + b = 6x - 12 +2a + b$

 

$(k,0)$에서 만나므로

$y = (-6+a)(x+1) -a + b = (-6+a)x -6 +b$ · · · ·  ①

$y = (6+a)(x-2) +2a +b = (6+a)x -12 + b$

위아래를 빼주면 $a, b$가 사라집니다.

$0 = 12x -6$

$x = \frac12 = k$

발문의 조건에 의해 $f(2k) = f(1) = 20$이고 $f(4k) = f(2)$값을 구하면 됩니다.

$f(1) = l(1) = a+b = 20$식이 하나 나오고 ①에 $(k,0) = (\frac12,0)$을 대입해주면

$0 = (-6+a)(\frac12) -6+ b$

$0 = a-6-12 + 2b$

$a + 2b = 18$

 

$a + b = 20$

$a + 2b = 18$

$b = -2, a = 22$임으로

$f(4k) = f(2) = g(2) = 2a + b = 44 -2 = 42$

정답은 42가 됩니다.

 

킬러 문제를 풀 때는 언제나 관찰하려는 마음가짐으로 문제를 봐야 합니다. 그리고 출제자의 의도를 파악하려고 노력하면서 발문을 읽고, 그 출제의도를 파악해서 문제를 풀었을 때 깔끔하게 풀립니다.

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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