2018 9월 수학가형 30번 (고3 대학수학능력시험 9월 모의평가 : 모의고사)

2018_고3_9월모의고사_수학가형.pdf

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2018_고3_9월모의고사_수학가형_답지.pdf

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안녕하세요. 푸디헬스입니다.

수학시험을 볼 때 가져야 할 태도는 어떤 게 있을까요? 여기서 태도라고 하는 것은 가장 좋은 점수를 받는 태도를 의미합니다. 수학시험에는 30문제를 푸는 데 100분이 주어집니다. 수학 문제를 푸는 데 있어 100분이 부족할 수도 있고 시간이 남을 수도 있습니다. 실전에서 수학시험을 볼 때 시간이 부족한 수험생들은 시험이 끝나기 10분 전에는 확실한 방향성을 잡고 문제를 풀어야 합니다. 남은 10분 동안 풀지 못한 문제를 풀것인지, 10분안에 현실적으로 풀 수 있을것인지, 아니면 남은 10분 동안 풀지못한 문제는 제쳐두고 풀었던 문제를 검산하여 확실하게 맞출것인지 확실하게 결정해야합니다. 

이렇게 확실한 방향성을 잡아야 남은 10분동안 안정적인 심리적 상태로 시험을 마칠 수 있습니다. 정리하면,

• 시험 10분 전에 확실한 방향성을 잡아야 한다.
• 10분 동안 검산을 할 것인지, 못 풀었던 문제를 풀 것인지 방향성을 결정해야 한다.
• 방향성을 잡으면, 안정적인 심리적 상태로 시험을 마칠 수 있으며, 안정적인 심리적 상태는 다음 시험에 긍정적인 영향을 준다.

수험생분들께서 더 잘 아시겠지만 시험 볼 때는 멘털이 정말 중요합니다. 그러니 항상 시험만 보면 점수가 평소대로 잘 나오지 않는 분들이 있으시다면, 한 번 위의 조언을 직접 실천에 옮겨보시길 바랍니다.

그럼 문제로 넘어가겠습니다.

2017년 9월 6일 수요일 평가원이 주관한 대학 수학능력시험 9월 모의평가 수학 가형 30번입니다. 1등급 컷은 91점이었고, 30번 문제가 오답률 96%로 1위를 차지했습니다. 29번 문제는 오답률 88%를 차지했습니다.

(29번 문제풀이는 아래에 있습니다.)

모의고사 - 2018 고3 대학수학능력시험 9월 모의평가(모의고사) 수학 가형 29번

(21번 문제풀이)

모의고사 - 2018 고3 대학수학능력시험 9월 모의평가(모의고사) 수학 가형 21번 풀이

그럼 30번 문제를 풀어보겠습니다.

발문의 순서대로 문제를 풀어보겠습니다.

함수 $f(x)= ln(e^x+1) + 2e^x$이므로 $f(x)$를 먼저 그려보겠습니다. 함수 $f(x)$를 미분하면 $f'(x) = \frac{e^x}{e^x+1}+2e^x>0$이므로 증가함수임을 알 수 있습니다. 한번 더 미분하면

$f''(x) = 2e^x-\frac{e^x}{(1+e^x)^2}=e^x(2-\frac{1}{(1+e^x)^2})>0$므로 $f(x)$는 증가함수이면서 아래로 볼록인 함수인 것을 알 수 있습니다. 그리고 x가 무한대로 갈 때 $f(x)$는 무한대로 가고, x가 마이너스 무한대로 갈 때 $f(x)$는 0으로 가므로 $f(x)$는 이와 같이 그려집니다.

그럼 다음 발문을 보겠습니다.

매우 복잡해 보입니다. 하지만 저희는 발문의 순서대로 해석을 해보겠습니다. $h(x)$가 $x=k$에서 최솟값 $g(k)$를 갖는다고 하였으므로 $x=k$를 대입합니다.

$h(k) = |g(k)-f(0)| = |g(k)-(ln(2)+2)|$= $g(k)$ 여기서 $f(0) = ln(2)+2 \ne0$이므로 $g(k)-(ln(2)+2) = -g(k)$가 됩니다.

그러므로 $g(k) = \frac12f(0) = \frac12 ln(2)+1$이됩니다.

그러고 나서 $g(x)$와 $f(x-k)$를 살펴보겠습니다.

만약 $g(x)$와 $f(x-k)$가 위와 같이 교점이 존재한다면 $h(x) = |g(x)-f(x-k)|$의 최솟값은 0이 됩니다. 그러면 '함수 $h(x) = |g(x)-f(x-k)|$는 $x=k$에서 최솟값 $g(k) = \frac12 ln(2)+1$를 갖는다.'라는 조건에 모순이 생깁니다.

그러므로 $f(x)$와 $g(x)$의 교점은 존재하지 않습니다. 그러고 나서  이차함수 $g(x)$의 최 고차항이 양수인지, 음수인지 판단해야 합니다. 그런데 $g(x)$의 최 고차항이 양수라면, $f(x) =ln(e^x+1)+2e^x$로 $e^x$가 존재하므로 이차함수 $g(x)$보다 숫자가 커지는 속도가 훨씬 빨라 교점이 항상 생기게 됩니다. 그러므로 $g(x)$의 최 고차항은 음수가 됩니다. 

그럼 두 함수의 교점이 없고, $g(x)$의 최 고차항은 음수를 토대로 $f(x-k)$와 $g(x)$의 그래프를 대략적으로 그려보면 다음과 같습니다.

ln

그럼 $h(x) = |g(x)-f(x-k)| = f(x-k)-g(x)$가 됩니다. $x=k$에서 최솟값 $g(k)$를 가지므로 $h'(k)=0$입니다.

$h'(x) = f'(x-k)-g'(x)$이고 $x=k$를 대입하면 $h'(k) = f'(0)-g'(k) = 0$이되어 $f'(0)=g'(k)=\frac52$($f'(x) = \frac{e^x}{e^x+1}+2e^x$)

그러고 나서 $g(x) = a(x-k)^2+b(x-k)+c$라고 잡으면 ($g(k) = \frac12f(0) = \frac12 ln(2)+1$을 위에서 먼저 구했기 때문에 c값을 쉽게 잡기 위해 g(x)를 이와같이 설정합니다.) 

$c = \frac12 ln(2)+1$가 되고 $g'(x) = 2a(x-k)+b$( $g'(k) = \frac52$)이므로

$b = \frac52$가 됩니다.

그러고 나서 다음 발문을 보겠습니다.

 

 

$f(x-k)$는 아래로 볼록($f''(x-k)>0)$이고 $g(x)$는 위로볼록($g''(x)<0$)이므로 $h(x) = f(x-k)-g(x)$는 아래로볼록이고($h''(x) = f''(x-k)-g''(x)>0$) $x=k$ 에서 최솟값을 가집니다. 그러므로 $h(x)$는 $x = k-1$이거나 $x = k+1$에서 최댓값을 가집니다. 그래서 이 두값의 크기를 비교해보면 한쪽에서 다른쪽을 빼주면 됩니다.

$h(k+1) = f(1)-g(k+1)$ = $ln(e+1) + 2e -(a+\frac52+\frac12ln2+1)$

 

$h(k -1) = f(-1)-g(k-1)$ =$ln(e^{-1}+1)+2e^{-1}-(a-\frac52+\frac12ln2+1)$

$h(k+1)-h(k-1) = 2e + 1-\frac2e+5$ = $6+2(e-\frac1e)$가나옵니다.

그런데 여기서 $e$의 범위가 주어져 있습니다.

 

$\frac52<e<3$이고 $\frac13<\frac1e<\frac25$이므로 $e-\frac1e>0$입니다. 그러므로

$h(k+1)-h(k-1) = 2e + 1-\frac2e+5$ = $6+2(e-\frac1e)>0$이되고 $h(k+1)$일때 최댓값을 가집니다.

$h(k+1)=ln(e+1)+2e-(a+b+c)$=$ln(e+1)+2e-(a+\frac52+\frac12ln(2)+1)$ = $2e+ln(\frac{1+e}{\sqrt{2}})$

계산하면 $a = -\frac72$가 나오고

$g(x) = -\frac72(x-k)^2+\frac52(x-k)+\frac12ln(2)$ +$1$이므로

$g'(k-\frac12)=6$이나옵니다.

 

잘 이해가 가지 않거나 다른 문제의 풀이가 궁금하신 분은 댓글을 남겨주시기 바랍니다. 감사합니다.

 

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